I work at a game center where lots of families come to play games.
この場合、次のように言えます。
ーI work at an arcade. A lot of families go there.
「私はゲームセンターで働いています。たくさんの家族連れがそこに来ます」
ーI work at a game center where lots of families come to play games.
「たくさんの家族連れがゲームをしにくるゲームセンターで働いています」
「ゲームセンター」は英語で arcade と言うのが一般的ですが、game center でも通じます。
ご参考まで！
「私はゲームセンターで働いています。家族連れなど多くきます」は英語で「I work at an arcade. Lots of families come by.」と言います。「ゲームセンター」は和製英語なので、「game center」は通じないです。現在、海外のゲームセンターはなくなっていく文化なので、人が理解しても「arcade」自体もあまり使っていない言葉です。
私はゲームセンターで働いています。家族連れなど多くきますが、以外とソロでプレイしている人も多いです。
I work at an arcade. Lots of families come by, but a surprising amount of people who play by themselves also come.
カナダ 
