自助努力大前提。能力か協調性。管理、柔軟性は経験から培うって英語でなんて言うの？

"initiative is a prerequisite" 「自助努力大前提」"initiative" は自動的に働くと言う意味です。"self motivated" も言えます。
"prerequisite" 「大前提」

"in work, self improvement and motivation are obvious" 「仕事をするにあたって、自助努力、自己研鑽、やる気があるといった類いは当たり前の話」

"ability or co-operativeness" 「能力か協調性」
"ability" 「能力」"skills" も言えます。
"co-operativeness" 「協調性」他の人やチームと働ける

"If you work in a team, you need to have the skills to work in the field or be an integral part of the team."
「チームとして働くなら、現場での遂行するスキルが高いか、緩衝材のようなチームになくてはならない存在でないと話にならない」

"management skills and flexibility are cultivated through experience."
「管理、柔軟性は経験から培う」
"management skills" 「管理能力」
"flexibility" 「柔軟性」
"cultivated through experience" 「経験から培う」