Having a pet for your kids has a positive influence on them.
Letting your kids have some kind of pet positively influences their mind and body.
この場合、次のような言い方ができます。
ーHaving a pet for your kids has a positive influence on them.
「子供のためにペットを飼うことは彼らに良い影響を与える」
to have a positive influence on ... で「…に良い影響を与える」と言えます。
ーLetting your kids have some kind of pet positively influences their mind and body.
「子供に何かペットを飼ってあげるのは、彼らの心と体に良い影響を与える」
to positively influence で「前向きに影響する」
影響の大・小を言うなら、次のように言えますよ。
ーto have a really big influence on ...
「…に大きな影響を与える」
ーto have a small influence on ...
「…に小さい影響を与える」
ご参考まで！
カナダ 
