I fell off my bicycle on my way to school the other morning.
この場合、次のように言えると思います。
ーI fell down walking at school the other day.
「この前、学校で転んじゃったんだよね」
to fall down walking で「歩いている時に転ぶ」
ーI fell off my bicycle on my way to school the other morning.
「この前の朝、学校に行く途中に自転車で転んじゃったんだよね」
to fall off one's bicycle で「自転車で転ぶ」
ご参考まで!