I was stopped by the police because the passengers in the back seat weren't wearing seatbelts.
The passengers in the back seat weren't buckled in / up, so I was stopped by the police.
I was stopped by the police because the back seat passengers didn't have their seatbelts fastened.
「後部座席の同乗者」は、the passengers in the back seat、または the back seat passengersでもOKです。
「シートベルトを締める」は、wear seatbeltsが一番シンプルな言い方ですが、be buckled upという表現もあります。
補足として、buckled in と buckled up の違いをご説明します:
"buckled in"
子どもや赤ちゃん用などの特別なシートについてよく使われます。
eg: Make sure your child is properly buckled in to their child seat.
「子どもにしっかりチャイルドシートのベルトを着用させるように」
"buckled up"
誰についても使えます。
eg: Please buckle up before the plane lands.
「機体が着陸する前にシートベルトをお締めください」
I got busted because the passenger in the back seat was not wearing a seatbelt.
get busted で、基本的には「警察に捕まる」という意味になります。
get caught もいいですが、その後に、by the police と付け加えたほうがいいでしょう。
「同乗者」は英訳すると少し難しいので、「passenger」として、「乗ってた人」という訳にすると効率的だと思います。