There isn't much space, can you please move the seat forward?
There isn't much space in the back, can you move the seat forwards?
「せまいので椅子を前に戻してください。」は英語にこのようになります。
There isn't much space, can you please move the seat forward?
There isn't much space in the back, can you move the seat forwards?
「狭い」→ isn't much space
投稿者さんが書いたI'm cramped の英語が近いですが、I'm crampedより It's cramped か It's cramped back here の方がふさわしいです。I don't have much space なども言えば良いです。
ご参考までに。
I'm a bit cramped back here. Could you move your seat forward a little?
「せまい」を cramped と表現するのは完璧です!ただ、put a seat back と言うと、おっしゃる通り「(リクライニングなどを)後ろに倒す/下げる」という意味になってしまうので注意が必要です。
カジュアルに「(座席を)前に戻して」と言いたい時は、slide your seat forward や move your seat up を使うのが自然です。
例:
I'm a bit cramped back here. Could you move your seat forward a little?
ここ(後部座席)がちょっとせまいんだ。椅子を少し前に出してくれる?
Can you slide your seat up? I don't have any legroom.
椅子を前にスライドさせてくれる?足元が全然ないんだ。