ここに「許可申請中の印」をもらって来てくださいって英語でなんて言うの？

For those whose visas are close to the expiration date,
(ビザの）期間満了日が近い方には
if you get a stamp on the back of your residence card showing that your visa renewal is being processed
入国管理事務所で在留期間を更新中である旨の印を在留カード裏面に押印してもらえば、
you can temporarily extend the validity of your My Number card
一時的にマイナンバーカードの有効期間を延長出来る

a stamp showing that visa renewal is being processed
在留期間を更新中である旨の印
visa renewalはビザ更新という意味ですね。「許可申請中」は英語で「ビザ更新が処理中」みたいな表現になっています。

ご参考になれば幸いです！

この場合、次のような言い方ができますよ。

ーYou'll need to get a stamp here that shows you're in the process of renewing your visa.
「ここにあなたの在留資格が更新中であることを示す印を押してもらう必要があります」
to be in the process of renewing one's visa で「在留資格を更新中である」と言えます。

ご参考まで！