"I'll always be with you."
"I'll" = "I will" 「私は〜」
"always" 「ずっと」
"be with you" 「あなたと一緒」・「一緒だよ」
"I'll be thinking of you"
"thinking of you" 「あなたのことを考える」
"I'll always think of you" 「ずっとあなたのことを考える」も言えます。
"You'll always be in my heart"
"you'll" = "you will" 「あなたは」
"be in my heart" 「私の心にいる」
"be in our hearts" 「私たちの心にいる」もつかえます。
ご質問ありがとうございます。
この場合、ペットに対して、「ずっと一緒だよ」と言いたいなら、英語で「You can always count on me to be by your side.」と言えます。
また、別の自然な言い方で「I'll always be there with you」でも可能です。
ご参考になれば幸いです。
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