家などなら、「下の階」は downstairs を使って言えますが、ここではシチュエーションが書かれていないので、例えば会社や学校などの下の階にあるディスペンサーから水を持ってくるなら、次のように言うと良いでしょう。
ーI'll get some water from the 〇 floor.
「〇階から水を取ってきます」
例えば自分が3階にいて2階から水を取ってくるなら、from the second floor のように階数を言うのが自然です。
ーI'll grab a cup of water from down below.
「下の階から水を取ってくるね」
from down below とも言えなくないです。
ご参考まで!
There's a water dispenser in a floor below so I'll get some water from there.
ご質問ありがとうございます。
「水を下の階から[持ってきます](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34390/)」は英語で「I'll get some water at another floor below.」と言います。
また、「下の階にディスペンサーがあって」と説明したいなら、そうすると、最初から「There's a water dispenser in a floor below.」という風に説明できます。
最終的に「There's a water dispenser in a floor below so I'll get some water from there.」になります。
ご参考になれば幸いです。