ご質問ありがとうございます。
① "I'm going to live my life."=「私は、自分の人生を生きるわ。」
② "I'll live my life the way I want to."=「私は自分の人生を自分が生きたいように生きるわ。」
*stayin'alive*とは *staying alive*をくだけたニュアンスで表現していますが、意味は「生きている」(状況などが苦しい中で)です。
*stay alive*は命令形なので、「生き続けろ」という意味になります。
ご参考までに。