1) Japanese Prime Minister
大体日本の首相だと理解されますが、これは日系人の首相という意味でも使える表現ですね。例えばThe first Japanese Prime Minister of the United Kingdom (初めての日系人のイギリスの首相）
また、ニュースでよく見ますね。例えばThe Prime Minister of Japan was invited to xじゃなくThe Japanese PM was invited to x (日本の首相がxに誘われた）の方が多くある気がします。
2) Prime Minister of Japan
一番多く使われていると思います。1)のように他の意味で使えないと思います。
1よりちょっと硬いかもしれません。
3) Japan's Prime Minister
2とあまり変わりないと思います。
強調しているのは首相より日本、というニュアンスは少し含まれていますかね。
ご参考になれば幸いです！
アメリカ合衆国 
