さっき髭剃りしてる途中、顎を切っちゃったって英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができます。

ーI cut my chin when I was shaving just now.
「さっき髭を剃っていたら顎を切ってしまった」
to cut one's chin で「顎を切る」

ーI nicked my chin when I was shaving a minute ago.
「さっき髭を剃っていたら、顎を傷をつけてしまった」
to nick one's chin という言い方もできますよ。

ご参考まで！