こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
To gain support from the voters by responding to the requests the support groups are vocal about.
として、『支持団体が主張していることに応えることで、有権者からの支持を得る。』とするのはいかがでしょうか。vocal about 『～ついて権利などを主張する、～について求める』を使うことで、ご質問にあるような『声の大きい（強く要求される）』というニュアンスが伝えられます。
その他にも、
By responding to the strong demands from support groups, we can gain support from the voters.
とすると、『支持団体からの強い要望に応えることで、我々は有権者の支持を獲得できる。』というような言い方もできますね！
参考になれば幸いです。
ご質問ありがとうございます。
おっしゃったように、「responding to large voice requests」はほとんどいいです。このような状況では「responding to requests by vocal support groups」の方が良いです。
「支援団体からの声が大きい要望に応えることで」＝「responding to requests by vocal support groups」
「有権者から支持を獲得」＝「gain support from voters」
「We will gain support from voters by responding to requests by vocal support groups.」になります。
ご参考になれば幸いです。
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