ご質問ありがとうございます。
「その[翌年](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/19638/)」は英語で「that following year」と言います。
また、アーティストについて、「彼女は元彼のことを歌詞にした曲で5年前賞を取った。その翌年も別の曲で違う賞をとった」と言いたいなら、英語で「Five years ago, she wrote a song of her ex boyfriend and went to win an award. That following year, she won an award for a different song.」になります。
ご参考になれば幸いです。
他の回答者がおっしゃったようにThat following yearを使えます。
The following yearやthe year after thatもOKですので紹介いたします。
例えば、
She won an award 5 years ago for a song that she wrote about her ex-boyfriend
彼女は元彼のことを歌詞にした曲で5年前賞を取った。
The following year, she won a different award for a different song.
その翌年も別の曲で違う賞をとった
ご参考になれば幸いです！
アメリカ合衆国 
