to start the new semester with a positive attitude
to begin your new school semester with a positive mindset
この「気持ちよく」がどういう意味で言っているのかが詳しくわかりませんが、次のような言い方もできるかと思います。
ーto start the new semester with a positive attitude
「新学期を前向きな気持ちで始める」
a positive attitude で「前向きな気持ち・積極的な姿勢」
ーto begin your new school semester with a positive mindset
「新学期を前向きな思考で始める」
a positive mindset「前向きな思考」を使っても言えると思います。
ご参考まで！
ご質問ありがとうございます。
① "To have a fresh start to the new semester"＝「新学期をフレッシュに始める」
② "To get a pleasant start to the new semester"＝「新学期を気持ちよくスタートさせる」
補足："fresh" や "pleasant" の代わりに "comfortable" も使えます。
ご参考になると幸いです。
カナダ 
アメリカ合衆国 
