stuckは、stickという動詞の過去形と過去分詞です。「突き刺す」や「くっつく」などのような意味がありますが、stuckはまたそれとは違う意味で使うことが多いです。
stuckの前にbe動詞をいれて、たとえば、I'm stuck on my Japanese thesis「日本語の論文に行き詰まっています」のように使うと、「困っている」「立ち往生している」「行き詰まっている」などの比ゆ的な意味になります。
ほかに、I'm stuck in a traffic jam「渋滞に巻き込まれている」のように使うと、「動きが取れない」「抜け出せない」などの具体的な意味で使うことができます。この意味で使うと I'm caught inと置き換えても同様な意味になります。
そして、be動詞のかわりに、「もらう」などの意味をもつgetを入れ替えると、すでに「その状態にある」ことを表すI'm stuckよりI got stuckと、その状態になった「変化」を表すことになります。
My sweter got stuck in the door.
My sweter is stuck in the door.
私のセーターがドアに引っ掛けた。