He just kept a wait-and-see attitude like it was someone else's problem
成り行きを見守る、という表現は、keep a wait-and-see attitude (何もせず状況を見ながら待つ態度)です。
他人事は someone else's problemで日本語とまったく同じ。
それが他人事であるかのように、ということなので like it was someone else's problem となります。
手をこまねく、というのはどちらかというと「なんとかしたいけどできずにただ見守っている」という意味ですが、上記の例文はどちらかというと、あえて傍観し状況を見守っている、というニュアンスです。
He stood by with his hands folded, as if it were none of his business, just watching how things would unfold.
「彼は他人事のように手をこまぬいて、成り行きを見ていた」という状況を英語で表現したい時は、"He stood by with his hands folded, as if it were none of his business, just watching how things would unfold."と表現できます。
"stood by" は「その場に立っている」という意味ですが、ここでは何もせずにいることを指しています。
"with his hands folded"で「手を組んで」という態度を示し、"as if it were none of his business"で「まるで関係ないかのように」と他人事としていることを強調し、「just watching how things would unfold」で「成り行きをただ見ていた」と表現しています。