「兄は一獲千金の熱にうかされ、ギャンブルにのめりこんだ」って英語でなんて言うの？

英訳1：この場合の「のめりこむ」は「夢中になる」という意味で、受け身の be carried away で言うことができます。後ろには with ~「〜で」が続きます。
「〜の熱」は、the idea of ~ が使えます。idea には「考え」だけでなく、もくろみや目的など、狙ったことのニュアンスもあります。

英訳2：sudden wealth は「（努力して豊かになるのと違って）突然裕福になること」なので、「一攫千金」を表現する時に使えます。
be absorbed in ~ も「〜に夢中になる」という意味になります。

英訳3：「取りつく」という意味のある obsess を使うと、be obsessed with ~「〜で頭がいっぱいになる」となります。
get-rich-quick で「一攫千金の」という形容詞がありますが、getting rich quick なら「手っ取り早く儲けること」です。
be/get addicted to ~ は「〜にはまる」「〜にのめりこむ」という慣用表現です。