My brother got carried away with the idea of getting rich quickly, and he got into gambling.
My brother got carried away with the idea of sudden wealth and got completely absorbed in gambling.
My brother was obsessed with getting rich quick, so he got addicted to gambling.
英訳1：この場合の「のめりこむ」は「夢中になる」という意味で、受け身の be carried away で言うことができます。後ろには with ~「〜で」が続きます。
「〜の熱」は、the idea of ~ が使えます。idea には「考え」だけでなく、もくろみや目的など、狙ったことのニュアンスもあります。
英訳2：sudden wealth は「（努力して豊かになるのと違って）突然裕福になること」なので、「一攫千金」を表現する時に使えます。
be absorbed in ~ も「〜に夢中になる」という意味になります。
英訳3：「取りつく」という意味のある obsess を使うと、be obsessed with ~「〜で頭がいっぱいになる」となります。
get-rich-quick で「一攫千金の」という形容詞がありますが、getting rich quick なら「手っ取り早く儲けること」です。
be/get addicted to ~ は「〜にはまる」「〜にのめりこむ」という慣用表現です。
アメリカ合衆国 
