「美人店員に熱を上げた彼は、三日にあげず売り場に通っている」って英語でなんて言うの？

熱をあげる、つまり一方的に好意を寄せることを、have a crush on ～と言います。
美人店員ですが、店員はstore clerk, sales clerk と言いますが、後半の文章でstore が出てくるので、clerkだけにしました。

「三日にあけず」に対する英語の直訳はありません。
頻繁に、という意味で frequently というのが一番しっくりきますが、例文はkeeps visiting her （彼女に会いに行き続けている）としました。