お子さんが話しているように言うなら、次のような言い方ができますよ。
ーDaddy always falls asleep before me.
「パパはいつも僕より先に寝ちゃう」
to fall asleep before me で「私より先に寝る」
ーDaddy always starts snoring before I go to sleep.
「パパはいつも僕が寝る前にいびきをかき始める」
to snore で「いびきをかく」
ご参考まで!
Daddy always falls asleep before I do.
「僕より先に寝てる」を英語で伝えるなら、 Daddy always falls asleep before I do. (パパはいつも僕より先に寝ちゃうんだ。)
という表現がぴったりです。fall asleep は「寝入る、眠りに落ちる」という意味です。