The public wouldn't stop talking about my private life.
People are always plaguing me with questions.
この場合の「世間がうるさい」は次のような言い方が自然で良いかなと思います。
ーThe public wouldn't stop talking about my private life.
「世間が私のプライベートについて話すのをやめない」
ーPeople are always plaguing me with questions.
「世間はいつもうるさく質問する」
to plague with ... で「人を…でうるさがらせる」
ご参考まで!