「彼は、アルバイトがきつくて３日で顎を出した」って英語でなんて言うの？

先ず、「アルバイト」ですが、カタカタ表記ではあるものの決して英語ではないことにご注意。「アルバイト」の英訳は"part-time job"です。お間違えの無いように。

さて「顎を出す」という特殊な表現ですが、基本的には「疲れてクタクタになる」という意を伝えるだけならば

exhausted
tired out

といった言葉を用いれば大丈夫です。しかし、日本語でいうところの「顎を出す」のような、特殊であまり目にしない表現という事であれば、残念ながら直接対応する者ではありませんが

flaked out

なんてものもあります。おそらく意味を補足する必要があるのは同じですが。

英訳1：so that 構文で、so hard that ~「きつくて〜」と言います。
wear には「（人を）疲れさせる／やつれさせる」という意味があり、be worn out で「疲れ果てる」になります。
「3日で」は、「3日後には」で言えるので、after three days でOKです。

英訳2：形容詞の tiring も「疲れさせる」「骨の折れる」という意味で、仕事のきつさを表現できます。
建造物や計画が「壊れる／つぶれる」時に使う collapse は、人に対しても（病気で倒れたり疲労でへたり込んだりする時に）使えます。

英訳3：exhausting も「疲れさせる」という意味。仕事で疲れる時によく言います。
keep it up で「頑張って続行する」という意味のフレーズです。

その他の例文：
- His part-time job was so hard that he was exhausted after three days.
- His part-time job was so tiring that he couldn't move after three days.
- His part-time job is so exhausting that he collapsed three days into it.