I'm drunk. と言うと「私は酔っている」という意味になるので、次のように言うと良いでしょう。
ーI've been drinking but I'm not drunk.
「お酒を飲んでいるけど、酔ってはいない」
ーI've had a few drinks but I'm not that tipsy.
「何杯か飲んだけど、酔っていない」
tipsy で「ほろ酔いの」
ご参考まで！
ご質問ありがとうございます。
・「I did have a few drinks but I'm not drunk.」
（意味) 何杯かは飲んだけど酔っ払ってないよ。
<例文>Are you drunk?// I did have a few drinks but I'm not drunk.
<訳>酔っ払ってる？//何杯かは飲んだけど酔っ払ってないよ。
参考になれば幸いです。
カナダ 
アメリカ合衆国 
