友達になろうって英語でなんて言うの？

Let's be friends. と言えますが、let's と言っているので with me は必要ありません。
または We should be friends. とも言えます。
ただ、北米では「友達になろう」と言うのはちょっと不自然で、次のような言い方をする方が自然です。

ーI think we'll be great friends.
「私たちは良い友達になれると思う」

ーWe should hang out more often.
「もっと遊ぼうよ」

ご参考まで！