この場合、私は She was cooking singing merrily. という言い方はしないです。
ーShe was cooking and singing merrily.
のように言うでしょう。
多分テキストでは、接続詞のwhile が結ぶ2つの文の主語が同じなら、while節の主語とbe動詞を省略できるという使い方を学んでいたのだと思いますが、She was cooking singing merrily. は不自然な言い方です。
ーShe was singing merrily while she was cooking.
「彼女は料理をしながら楽しそうに歌を歌っていた」
while節にcooking を持ってきた方がより自然ですよ。
ご参考まで!