She talks without thinking.
(彼女はなんでも考えなしに話す)
He's got a loose tongue.
(彼は口が軽い)
She can't keep secrets.
(彼女は秘密を守れない/口が軽い)
He can't keep things to himself.
(彼は隠し事が出来ない/隠しておけない/口が軽い)
「口が軽い」は 'talk without thinking (考えなしに話す = 配慮に欠ける = 口が軽い)'、 'loose tongue (舌が緩い = 口が軽い ...文字通りですね (⌒_⌒; )'、'can't keep secrets (秘密が保てない = 秘密が守れない)'、 'can't keep things to oneself (隠しておくことができない = 隠し事ができない = 秘密が守れない = 口が軽い)'、他にもいろいろとバリエーションがあると思いますが、上記が割と一般的で使いやすい表現ではないかと思います。
「真剣な話」は、'serious conversation (真剣な会話/話)'、'talk seriously with ~ (~と真剣に話す)'、などが使えると思います。
「~な人」は、'a person who ~' で表せると思います
例文としては。。。
I cannot talk seriously with a person who talks without thinking.
(何も考えずすぐなんでも話すような人とは真面目に話なんてできない。)
I cannot have serious conversations with a person who has a loose tongue.
(口の軽い人とは真面目な話が出来ない。)
I can't talk seriously with a person who can't keep secrets.
(口の軽い人とは真面目に話なんてできない。)
I cannot have serious conversation with him as he can't keep things to himself.
(彼は口が軽いから彼とは真剣な話はできない。)
I cannot talk seriously with a person who talks without thinking.
(何も考えずすぐなんでも話すような人とは真面目に話なんてできない。)
以上、乱雑で申し訳ありませんが、少しでも何かの参考になれば嬉しいです★ヽ(''∀`○)ﾉ☆
keep a secret で「秘密を守る」、外に漏らさない感じになります。
can't をつけて、秘密を守ることができない、つまり口が軽い、という意味で使います。
big mouth は日本語では、大口をたたくというような意味で使われますが
英語では、口が軽くてすぐ言いふらしちゃうような人に対して使います。
I hope that helps!
日本 
