casually で、気軽に（かしこまった気持ちはなく）、という意味です。
１つめの例文は「軽い気持ちで応募しました」となります。
with no particular motive は、とりたてて動機といったものもなく、という慣用句です。
2つ目の例文は、特に深い気持ちもなくそのグループに加わった、という意味ですね。
「軽い気持ちでやってみる」は、give it a try, give it a shot などと表現すればいいでしょう。
各直訳は：
(1)「やってみようと思ったんだ」
(2)「やってみたんだ、何も失うものがないので」
(3)「応募してみたんだ、結果を気にせずに」
no pressureは「結果を気にせずに」の意です。
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