backfire は「（銃などが）逆発する」とか「期待に反した結果になる」などの意味があります。この場合は自分が誰かに怒っているのに、その人が逆に怒って来たので backfire した。というニュアンスです。
He backfired at me.
彼は逆ギレしてきた。
snap back は「言い返す」という意味の表現です。snap は「バチン」という音とか、バチンとなるようなすばやい動きのことです。例えば snap your fingers で「指を鳴らす」です。
I said, "Clean your room."
私は「部屋を片付けなさい」と言った。
"Why are you always telling me what to do!" he snapped back at me.
「なんでお前はいつも俺にこうしろああしろって言うんだ！」と彼は言い返した。
He got angry in order to make himself the victim.
彼は逆切れしてきた。
逆ギレ、という表現を一言で英語で言うのは難しいですが、自分自身を被害者として守り正当化するために怒る=逆切れ、というニュアンスですかねぇ。
間違いは素直に認めましょう、逆ギレはいけませんよ！
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