前の方にリクライニングをもう少し上げてくださいと伝えてくださいって英語でなんて言うの？

Could you tell the person in front to put his(her) seat up a little?
前の人にリクライニングを少し上げるように言ってください。

CAさんに「伝えてください」と言う時は Could you tell や Please tell などが使えます。

「前の人」は the person in front で通じます。the person in front of me（私の前の人）、the person in the seat in front of me（私の前の席の人）などというとよりわかりやすいですが、そこまでは必要ないと思います。

「リクライニング」は reclining seat ですが seat だけでOKです。put up your seat で「リクライニングを上げる」です！

Could you ask the front customer (passenger) to pull his seat up a little? Thank you!
「シートを少しだけ上げてもらえるよう、前の乗客の方に聞いて頂けますか？ありがとうございます。」

Could you だけでも丁寧ですが、Could you please　とするとより丁寧になります。
最後に　Thank you.　と付ける事で感じが良くなりますね！

前に座ってる人の性別が分からなければ”person”でいいですが、男性であればgentleman、女性であればladyなどと少しフォーマルな言い方をすると仮に前の人に聞かれても「おいこいつ邪魔だからどかしてくれよ」と言う風には聞こえません。

この”kindly”と言うのもキーポイントです。これも聞かれるかもしれない、と言うのを想定して低姿勢から言います。数時間も至近距離である人とはなるべくトラブルを避けたいですよね。

It's kind of tight in here = 少し窮屈だから

I don't have enough leg space = 足を置くスペースが足りない

I'm feeling claustrophobic = 狭くて居心地悪い

こう言ったフレーズを言ってから席を上げてもらった方が哀れんでもらえるかもしれません。

因みにclaustrophobicとは閉所恐怖症の事ですが、実際恐怖症を持っていなくめこうやって狭くて居心地の悪い時に使います。

リクライニングシートと言ってもよいですが、飛行機の座席であれば、chair や seat でよいでしょう。pull up や move forward という表現を使ってみてください。