お隣の犬は雷を恐がるので、雷がなるとよく鳴きますって英語でなんて言うの？

お隣の犬は　our next-door neighbor's dog あるいはthe dog of our next-door neighbor
(犬を複数飼っていて、そのうちの1匹の場合は、出だしのthe を a　に変えます）

怖がる　は　be scared of ~ （おっしゃる通り、of で大丈夫です）
あるいは、be afraid of~

雷（轟の方）thunder (ちなみに稲妻の方はlightening といいます）
（これは不可算名詞ですので、aやsなどはつけられません）

泣く　（犬の「吠える」）は　bark (それに「ひどく」という意味のfuriouslyや wildlyをつけています）

雷がなる時　は、例①では　when it roarsとしましたが、the dog も　it にあたるので
例２のように、同じ言葉が2回続きますが、thunderを使ってもよいですね。
（roarも crash も ここでは「（雷などが）鳴り響く」という意味です。）

娘のところの犬も、やはり雷が大の苦手で、普段はおとなしいのに、雷が鳴るとちょっと精神状態がおかしくなり、わんわん泣いて、大嫌いなお風呂に入りたがります（笑）

ご参考まで。

犬が雷を恐れる様子を英語で説明するときには、"The neighbor's dog is afraid of thunder and often barks when it storms." と言えます。これは「隣の犬は雷を恐れていて、雷が鳴るとよく吠えます」という意味になります。

少し情報を追加すると "My neighbor's dog gets scared during thunderstorms and you can hear it whining." とも言えて、「隣の犬は雷雨のときに怖がりますし、鳴いているのが聞こえます」という状況を表現できます。

関連する単語とフレーズ:
- frightened: 怖がる、怯える
- terrified: びっくりするほど怖がる
- alarmed: 警戒する、驚く
- petrified: 石のように固まるほど怖がる
- to panic: パニックになる