Let's keep goingは、「そのまま続けましょう」や「前進し続けましょう」のいった意味です。
keepは「保つ」という意味で、その後ろにing形の動詞がつくと、keep eating「食べ続ける」 keep practising「練習を続ける」のように、その一つ一つの行動をやり続ける意味になります。
She keeps complaining about the government, but she never votes.
彼女は、政府のことについて愚痴をこぼしてばかりで、投票にはまったく行かない。
no matter whatは、「どうしても」「どんなことがあっても」「たとえ何があろうと」のいった意味です。
I have to do it no matter what「それをどうしてもやらなくてはならない」や No matter what (happens) I have to go there「何があろうとも、私はそこに行かなくてはいけない」 のように、切羽詰った心境にあるときや、必死になってるときなどに、よく使われる表現です。
No matter whatのwhatのかわりに、たとえば、no matter how「どのように・どんな風に（何かをしても）」やno matter which「どちら・どれ（にしても）」のように、howかwhichと置き換えて意味の少し違う表現にもできます。
Let's do what we can.
(レッツ ドゥ ホワット ウィ キャン)
「私たちが出来ることをやろう」
※この what は文法的には「先行詞を含む関係代名詞」と呼ばれています。
この場合は、後に続く what we can と合わせて、
『私たちにできること』という意味になります。
※最後の can の後には、 do が省略されています。
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