回答
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It seems that the anesthetic injection is working
~みたい=It seems that
麻酔注射=anesthetic injection
英語で「利いている=効果がある」は、日本語で説明すると(効果が働く(働いている)=it works/it is working)というようになります。
回答
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The anesthetic injection seems to start working.
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It becomes numb.
上記の英訳文はいかがでしょうか。
直訳すると、一つ目の英訳文は「麻酔注射が働き始めたみたいです。」、二つ目の英訳文は「そこは感覚がなくなり始めました。」となります。
二つ目の英訳文の"it"は、麻酔をした部分を指しています。
もし、具体的に述べる場合は、歯茎だと、"The gums become numb.「歯茎の感覚がなくなり始めました。」"などと英訳できるでしょう。
なお、麻酔注射は、"a numbing shot"ともいいます。
お役に立てれば幸いです。