「（プリンターは）インクがすぐなくなる」というのは、The printer quickly runs out of ink.といいます。
この文にprinterを主語にして言いましょう。
副詞のquicklyは動詞の前か、文の最後にも付けることができます：
例) The printer runs out of ink quickly.
この場合の「なくなる」はrun out of～となります。
また、「写真をたくさん印刷するので、インクがすぐになくなる」はこのようにいいます：
I print a lot of pictures, so the printer quickly runs out of ink.
アメリカ在住のMasumiです。
他の方も同じように書かれていますが
The printer runs out of ink quickly.
プリンターのインクがすぐなくなってしまうんだよ。
違う表現でこんな風にも言えますよ。
The printer ink doesn't last long.
プリンターのインクが長持ちしないんだ。＝インクがすぐなくなってしまう。
参考にしてみてくださいね。
アメリカ合衆国 
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