インクがすぐなくなるって英語でなんて言うの？

「（プリンターは）インクがすぐなくなる」というのは、The printer quickly runs out of ink.といいます。
この文にprinterを主語にして言いましょう。
副詞のquicklyは動詞の前か、文の最後にも付けることができます：
例) The printer runs out of ink quickly.
この場合の「なくなる」はrun out of～となります。

また、「写真をたくさん印刷するので、インクがすぐになくなる」はこのようにいいます：
I print a lot of pictures, so the printer quickly runs out of ink.

アメリカ在住のMasumiです。

他の方も同じように書かれていますが

The printer runs out of ink quickly.
プリンターのインクがすぐなくなってしまうんだよ。

違う表現でこんな風にも言えますよ。

The printer ink doesn't last long.
プリンターのインクが長持ちしないんだ。＝インクがすぐなくなってしまう。

参考にしてみてくださいね。