～なら知ってるって英語でなんて言うの？

言葉というより、イントネーションが大事です。
「Janet」は強く言えば、「なら」ということが協調されます。

これは、
No, but as for ~, I know でしょうか？
No, but as for songs, I know a Janet Jackson song.
(知らない。でも歌についてなら、ジャネットジャクソンの歌は知ってる）

会話の場合なら、as for songs を省略して、
No, but I know Janet Jackson songs.
と言ったりもします。I know を強調したイントネーションで言うので、先生と練習してみて下さい。

ご質問ありがとうございます。

・「I only know A's songs.」
（意味)Aの曲しか知りません。

<例文>I don't know his songs. I only know A's songs.
<訳>彼の曲は知りません。Aの曲しか知りません。

参考になれば幸いです。

この場合、次のような言い方ができますよ。

A: Do you know any Michael Jackson songs?
「マイケル・ジャクソンの曲何か知ってる？」
B: If you're talking about Janet Jackson, then I know some of her songs.
「ジャネット・ジャクソンならいくつか知ってるけど」

または次のような言い方もできます。
ーI don't know any Michael Jackson songs, but I'm familiar with some of his sister Janet's songs.
「マイケル・ジャクソンの曲は知らないけど、妹のジャネットの曲ならいくつか知ってるよ」

ご参考まで！