私のことは○○と呼んでくださいって英語でなんて言うの？

あってますよ。
You can call me Sho.
とも言えます。

My name is Sho Kobayashi. You can call me Sho or Kobayashi, whichever you like.
こばやししょうです。しょうでも小林でも、どちらでもお好きな方でお呼びになって構いません。

"Please call me"は「下の名前」や「呼び名」、もしくは「相手によって呼びやすい呼び方」を伝えたい時に使います。

例えばフルネームを伝え、「下の名前」で呼んで欲しい場合：
例: My name is Takayuki Suzuki. Please call me Takayuki.

また、普段の「呼び名」、あるいは「相手によって呼びやすい呼び方」で呼んでほしい場合：
例: My name is Takayuki. Please call me Taka.

nori さん、あってますよ！英語では Please call me〜 はフォーマルなシチュエーションで使います。

Feel free to call me〜 はもい少しカジュアルで、「遠慮なく…と呼んで下さい」のニュアンスになります！

こんにちは。
フォーマルな場では下記のような言い方ができます。

・Please call me ◯◯.
「◯◯と呼んでください」
ーー

次の表現も使えます。もう少しカジュアルな言い方です。

・You can call me ◯◯.
「◯◯と呼んでいただいて問題ございません」

・Feel free to call me ◯◯.
「遠慮なく◯◯と呼んでください」
ーー

【例】
Hi! Nice to meet you, I'm Taro Eikaiwa. Please call me Taro.
「こんにちは、初めまして。私は英会話太郎です。太郎と呼んでください」
ーー

ぜひ参考にしてください。

addressにも「〜と呼ぶ」という意味があります。使い方はcallとすこし違うところは　

Please address me Alex. と言わないところです。名前の前に前置詞のasを入れるのが普通です。

参考にしてください