coming up は「[やって来る](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/81327/)」、
approachingは「迫っている」というニュアンスです。
I have to submit this document soon because the deadline is approaching.
「[締め切り](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/38622/)が近いのでこの書類を早く出さないと。」
near は動詞で使うこともできます。意味は「[近づく](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/56771/)」です。
例)As the summer break nears, children get more excited.(夏休みが近づくにつれ子供たちは[ワクワク](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/7704/)してくる。)
例)I'm nearing 30.(わたしはもう30に近い年です。)
参考にしてみてください☆彡
おっしゃられている内容は、他のアンカーの方も回答してらっしゃるように、普通に訳すなら、
The deadline is approaching.
のように1つには言えます(*^_^*)
あるいは、「締め切り」に当たる言葉を知らなくても
I have to get this task done soon.
「私はすぐにこの仕事を片付けないといけない」
とか、あるいは具体的に期日を入れて、
I have to get this task done by tomorrow.
「明日までにこの仕事を片付けないといけない」
のように言っても良いですね♪
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
★★大阪カフェレッスン英会話講師KOGACHI