印鑑不要で申し込めますって英語でなんて言うの？

アメリカでは印鑑ではなくサインを使います。

No signature is needed = サインは不要です。

あえて訳すとsealと言う印鑑と同じものはありますが、今時そんな物を使う人は居ません。

Seal of approval = お墨付き
と言う言い回しなら今でもよく使われていますが実物は見ないですね。