疑問視するって英語でなんて言うの？

ファンということはきっとスポーツチームとかの想定ですね。監督も"director"、"supervisor"、"coach"など色々ありますが、"manager"が良さそうです。 最初の例では「疑問視する」に"be questioned"を使いました。「質問」よりも「疑義を呈す」意味合いですね。「手腕」は"skills"です。 2番目の例では、それぞれ"have doubts"と"job"に変えて、「彼の監督としての仕事ぶりには疑問があるな」です。 ご参考にされてください。

「〜がファンの間で疑問視されている」は、Fans を主語にして、次のように言うことができます。 　Many fans raise/express concern about 〜 ここで concern は「懸念」といった意味です。 上の「〜」に当たるのが「監督の手腕」になります。 ・監督は、managerがいいと思いますが、head coach となる場合もあります。 ・手腕は、skill、ability などです。 以上から、 　Many fans raise concern about his skill as a manager. とすることができます。