厳正に対処するって英語でなんて言うの？

「厳正に」は "strictly"が一番ぴったりくる語ではないかと思います。 「対処する」には"deal with" や"cope with"の他に "act towards"という表現も使えます。 ご質問の一文は We will deal with the matter strictly after clarifying the facts so as not to cause doubts among people. としてはいかがでしょうか。 「疑念を生じさせる」は"cause doubts"を使いました。