初詣を「[新年](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/108026/)の[お参り](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/42293/)」と説明するなら、「The first shrine visit of the (new) year」でいいかと思います。お参り、[お参拝](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/16359/)は、英語で「visit a shrine」です。
また、少し雑談になりますが、神道の神社は英語で「shrine」と呼び、仏教のお寺は「temple」と呼びます。
例：
My first shrine visit of the new year was last week.
先週、初詣に行きました。
＜ボキャブラリー＞
first = 最初の
visit = 訪問、訪問する
shrine = 神社
new year = 新年
関連した英語表現については、こちらのブログ記事をご覧ください：
[お参りのマナーを英語で説明してみよう！「神社」にまつわる英語表現](https://eikaiwa.dmm.com/blog/learning-english/shrines/)
Hey there!
ユーコネクトの英語コーチのアーサーです！
アメリカの[文化](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36948/)にはないものです。ですから日本語の名前を使ってもいいです。日本語の名前で呼ぶと、相手はかっこいいと思ってくれるはずです。
でもきっと、相手はわかりませんので後で説明しなければいけません。
A: What did you do today?
B: I did Hatsumoude today!
A: What's that?
B: It's when you visit a shrine on new years
A: Oh, cool!
よろしくお願いします！
応援しています！
アーサーより
「初詣」は英語でそのままHatsumoudeと言えます。アメリカで「初詣」の習慣がないのでそのままローマ字で言えます。そして、意味的に「初詣」は英語でfirst shrine visit of the New Yearと言えます。「初詣」は英語で説明する時に、first shrine visit of the New Yearとして説明するのがいいと思います。
例：
Hatsumoude is the first shrine visit of the New Year.
初詣は新年の初めての神社のお参りです。
They always go to the same shrine for the first visit of the New Year.
彼らは初詣のために、いつも同じ神社に行きます。
That shrine is always busy on New Year’s because many people go there for the first shrine visit of the New Year.
その神社はたくさんの人が初詣に来るから、お正月にいつも忙しいです。
first = 最初の
shrine visit = 神社のお参り
Hatsumode is the first visit to a shrine of the New Year in Japan.
There are many festivals and celebrations during Hatsumode.
During Hatsumode, people make prayers and wishes for a very good year.
初詣 first shrine visit of New Year
初詣は日本で初めてお正月の参拝。
Hatsumode is the first visit to a shrine
of the New Year in Japan.
初詣の時期には、たくさんのお祭りやお祝い事があります。
There are many festivals and celebrations during Hatsumode.
初詣の間、人々はとても良い年を祈り、願い事をします。
During Hatsumode, people make prayers
and wishes for a very good year.
「初詣」という言葉を英語で表したい場合に、一つの言葉だけで説明できないと思います。そのまま「Hatsumode」と言っても良いですが、日本の文化についてわかる人しかわからない可能性が高いですので、「the first time to visit a shrine in the new year」という表現を使っても良いと考えました。例えば、「The first time to visit a shrine in the new year is a very important part of Japanese culture.」と言っても良いです。「Culture」は「文化」という意味があります。
first shrine/temple visit of the year
上記のように英語で表現することができます。
shrine で「神社」という意味になります。
temple で「お寺」という意味になります。
first visit で「最初の訪問」のような意味です。
「初詣」に当てはまる単語等はないので、どのようなものなのかを説明する必要があります。
お役に立てればうれしいです。
アメリカ合衆国 
