回答
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Some hairstylists shampoo customers' hair with gloves to not get rough and dry hands.
「美容師」は hairstylist の他にも、hairdresser や beautician と言うこともできます。
"shampoo 〜" は「〜をシャンプーする」で、"give 人 a shampoo" と表しても同じ意味です。
"with gloves" は「手袋をして」で、"gloves"(手袋) は2枚一組の為、通常は複数形で使います。
"to not 〜" は「〜しないように」と言う際の表現です。
ここでの "get〜" は「〜を得る」→「〜になる」となり、よく使われる用法です。"rough and dry hands"(荒れた手) と共に「手が荒れる」を表現できます。
回答
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Before using shampoo, some hairdressers wear gloves to protect their hands.
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Some hairstylists shampoo their clients with gloves on to protect their hands from chemicals.
手荒れ対策は、protect their hands（両手を守る）としても自然です。
protect hands from chemicals（化学物質から手を守る）
「手袋をする」はwear gloves, put on gloves, with gloves onなどと表現できます。
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