「彼の話し方はムカついた」です。
「○○の~仕方」という言い方として、一つには、○○'s way of ~ingという言い方があるので、
これを使って表現すると
his way of talkingで「彼の話し方」となります。
また、
disgusting「胸がムカつく、うんざりする、気分が悪い」などを意味する形容詞です。
言い方が腹立つ、は以下のように英訳できます。
1)I didn't like the way he/she talked to me.
=彼女の話し方が気に入らなかった
2)I really hated how he/she said it.
=話し方が嫌いだった
今回の「言い方」のように、何かの方法や手段を表す時は2通りの言い方があります。
1)のように the way を使う方法と、2)のように howを使う方法。
「HOW」は手順を表す時に使います。
例)I like how you interact with children =(あなたの)子供の接し方が好き