こちらの席をどうぞ、気にせずって英語でなんて言うの？

素敵な心遣いですね＾＾「こちらの席をどうぞ」は、Take this seat. / You can take this seat.といいます。takeの代わりにhaveを使ってもいいです。また、単に「どうぞ」Go aheadといってもいいです。
その席に座りたいか質問したいときは、Would you like to take this seat?というといいですね。

「気にせず」は、No problem、Don't worry等を使います。オーストラリアやニュージーランドでは、Don't worryと同じ意味のNo worriesがよく使われています。

この言葉をきっかけに、その方と英語を話すきっかけになればいいですね♪♪

ご質問どうもありがとうございます。
様々な表現があると思いますが、いくつか自然な表現を紹介します。

（英語圏は、日本語後と違って、普段は文章を最後までいうんですが、
こちらの場面は少し違います。より詳細な情報は（親切な姿勢を表現するため）は、声や目で、体の丁寧なジェスチャーなどを通じて、表すのが自然です。なので、英語では、「気にせず」がなくてもよいかもしれません。

英語だから少し珍しいですが、この文脈なら、実際は言葉が短ければ短いほどいいです。
例えば、相手に座りたいか質問したい場合は「Please.」だけでも通じます。
または、Please have my seat.でも考えられます。
少し理由を追加することも可能です。

事例:
Please have my seat. (席、どうぞ）
I'll be getting off shortly anyway.　（私どうせ、もうすぐおりますから）

P.S.　一方、「ここ座っていい」と聞かれたら、
「Sure, please have my seat!」などでも自然です。

お好みに合わせて使い分けてみてください。
ご参考にしていただければ幸いです。