とっぴよしもなく飲み会が始まるって英語でなんて言うの？

「突拍子もなく」は「突然に、急に」とすると、訳しやすくなります。

「飲み会」は "drinking party" となります。
「〜が始まる」は start と begin のどちらでも良いでしょう。

「突然に、急に」は "on a sudden" "suddenly" の他に、"with suddenness" "abruptly" なども使うことができます。