とっぴよしもなく飲み会が始まるって英語でなんて言うの？

「突拍子もなく」は「突然に、急に」とすると、訳しやすくなります。 「飲み会」は "drinking party" となります。 「〜が始まる」は start と begin のどちらでも良いでしょう。 「突然に、急に」は "on a sudden" "suddenly" の他に、"with suddenness" "abruptly" なども使うことができます。