There is no necessity that either of the couple should change the last name to share it between the couple.
There is no need for either of the couple to change their surname to that of the spouse.
・「必要がない」の部分は
'there is no need'
の他に「必要性がない」という意味で
'there is no necessity that...'という表現も使えると思いますので提案します。
・「夫婦のどちらかが」
'either of the couple'
・「相手の名字に統一させる」の部分ですが少し意訳して
「夫婦間で共有するために名字を変える」
change the last name to share it between the couple
「名字を配偶者のものに変える」
change the surname to that of the spouse
としてはいかがでしょうか。
「名字」は
the last name
the surname
どちらも使えます。