Thanks to you, [NAME] is starting to get a grip on English.
お子さんが英語のレッスンを受けており、
その先生のおかげで、お子さんがだんだん（英語を）理解出来てきている―
そのことをメッセージで伝えたい、ですよね？
（これを英語で書くわけなので、
「英語」のレッスンであるという認識でとりあえず回答させていただきます。）
ただ、誰の観点から英文を作成すべきでしょうか。
子供の観点から書く場合：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
「Thanks to you, I'm starting to get a grip on English.」
「Thanks to you, I'm starting to get the hang of English.」
「Thanks to you, I'm starting to really understand English.」
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
などが適切です。
自分（親）の観点から書く場合、「I'm」とある箇所を「[お子さんの名前] is」に差し替えてください。
例：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Thanks to you, Taro is starting to get a grip on English.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ご参考になれれば幸いです。
Now, I have a much better understanding of (subject).
Thanks to your help, I'm starting to acquire (subject).
I'm learning so much from you!
"Now, I have a much better understanding of (subject)."
『（subject）に対する理解がかなり高まりました。』
"Thanks to your help, I'm starting to acquire (subject)."
『（先生の）サポートのおかげで、(subject)を習得しつつあります。』
"I'm learning so much from you!"
『（先生からは）たくさんのことを学んでいます（進行形）！』
(subject)には学んでいる内容を入れてください。
英語であれば"English"、文法であれば"grammar"。
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