Today I looked up how to drive away a dog that comes up to you while barking.
「今日は突然犬に吠え寄られた時の追い払い方を調べてた」はこのような言い方もあります:
Today I looked up how to drive away a dog that comes up to you while barking.
「調べる」はresearchやinvestigateという意味もありますが、この場合はlook upまたはlook intoを使っても自然です。
comes up (to you) while barkingは「(人に)吠えながら寄ってくる」です。この場合のyouは一般的な主語として「人」ということです。
「追い払う」はchase awayのほかに、drive awayやdrive offも使えます。
「方法」は基本的にmethodやwayと言いますが、how to~という言い方もよく使われます。