I feel safe. 「安心に感じる」
in case of emergency は「もしもの時、緊急事態の時」という意味です。
I feel safe living close to a big hospital in case of emergency
「大きな病院の近くに住んでいると安心です」
I feel better knowing there's a big hospital in the town I live in just in case I get sick.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI feel better knowing there's a big hospital in the town I live in just in case I get sick.
「住んでいる町に大きな病院があると、もしものとき安心だ」
to feel better knowing ...「…と知っていると安心だ」
just in case I get sick「万が一私が病気になった時に備えて」
ご参考まで!